积分学是高等数学中的最重要内容之一，我们学习的顺序是：先学习不定积分及相关运算，然后才是定积分的概念、性质、运算及其应用。事实上，在微积分发展过程中，人们先有了定积分的思想，后来才发现了定积分和不定积分的关系——微积分基本公式（又称为“牛顿-莱布尼茨公式”）

说起微积分我们并不陌生，几乎所有学过高等数学的人都能说出来他的创立者——牛顿和莱布尼茨，甚至能够对他们之间关于微积分的优先权的争论侃侃而谈。

今天我们要说的是，虽然微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨，但他们是站在前辈巨人的肩膀上的，微积分的产生是一个由量变到质变的过程。而这一过程经历了漫长的历史过程，是在很多先驱工作积累的基础上创立起来的。

微积分的发展历程

17世纪，欧洲的数学家们摸索着走向微积分，一个是对任意曲线切线的问题，即导数问题，另一个则是求积问题，即计算不规则区域的面积，这里的不规则区域一般是指曲边形。关于求积问题，自古就吸引了很多数学家的眼光，最早他们计算面积的方法无外乎是切割和重排两种方法。

微积分中积分思想的萌芽早于微分，积分思想的萌芽可追溯到古希腊、中国和印度对面积、体积的计算。阿基米德在他的著作《圆的度量》中，利用穷竭法计算圆的周长和面积计算。在《论球和圆柱》中利用穷竭法论证了与球的面积和体积相关的公式。

刘徽的“割圆术”，利用圆的内接正多边形逼近圆的面积，他是中国算术史上第一个建立可靠理论推算圆周率的数学家。

祖冲之和他的儿子暅对刘徽的数学思想和方法进行了推进和发展，祖冲之算出了圆周率数值的上下限：

3.（肭数）π3.（盈数）

祖冲之的儿子祖暅推导几何图形体积公式基于两个原理：

出入相补原理祖氏原理：幂势既同，则积不容异.

以上的工作中都包含着积分学的思想，他们被称为一般积分学的漫长努力的先驱。

17世纪早期，意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发明了一种“不可分割法”的系统方法，他认为线是由无限多个点组成的，面是由无限多平行线组成；立体则是由无限多平行平面组成。卡瓦列里把这些元素称为线、面、体的“不可分量”。他在“不可分割法”中将未知区域切割为狭窄的长方形条并将其面积相加求和。其实他的这种方法早就被古希腊的阿基米德发现，只是经过漫长的历史时期，阿基米德的工作已经失传。

事实上，很多数学家包括费马、牛的的老师艾萨克.贝若都对求积与切线问题进行研究，但无论是阿基米德，还是卡瓦列里和费马都没意识到如何才能将这种方法转化成一种实际计算工具，但只有牛顿和莱布尼茨抓住了事情的本质：

{!--PGC_COLUMN--}即微分和积分其实是同一个问题的两个方面！但在牛顿和莱布尼茨之前，没有人意识到微分与积分是互为逆运算的。因为如果你没有学习微积分的话，很难将求一条曲线的切线和求另一条曲线包围的面积之间联系起来。

举例：如果你驾车出行，行驶一定的距离之后，里程表记录你走过的路程S(t)，速度表记录了你在不同时刻的车速v(t)，那么S(t)与v(t)都是时间t的函数，随时间t的变化而变化的，这里里程表函数的微分就是速度表函数，速度表函数的积分就是里程表函数。

微分和积分之间的逆运算关系即微积分基本公式：

微积分基本公式（又称牛顿-莱布尼茨）实际上是由以上两个公式组成的，但现在高等数学课本上通常所说的是第一个公式。

这个公式不仅反映了微分和积分的逆运算关系，还提供了计算定积分的方法，即区间[a,b]上定积分的值归结为求被积函数的原函数问题，积分值等于原函数在积分上限b处的函数值与积分下限a处函数值的差，即F(b)-F(a).

不定积分与定积分

不定积分：在区间I内，函数f(x)的所有原函数称为f(x)在区间I内的不定积分。

函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线。

定积分的本质其实就是乘积求和，但这种和是无限求和，因此需要利用极限的思想。结合几何图形，定积分可表示为曲边梯形的面积，通过分割、近似”求和、取极限四步来完成。在整个过程中最重要的是第二步近似，利用“以直代曲”的思想，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。

虽然从式子上看，定积分与不定积分只差了积分上限和下限，但是两者之间却又本质的区别。

不定积分是积分曲线族、是函数；定积分是和式的极限、是常数。

两者之间有区别更有联系，微积分基本公式把不定积分和定积分紧密的联系在一起，并为定积分的计算提供了一种方法，即定积分的计算转化为求被积函数原函数的问题。

积分学中的这些常用符号dx,dy,∫都是莱布尼茨创立的，与牛顿的流数术中的符号和记号相比，莱布尼茨的表述更为简单，我们今天所用的表述方法几乎完全是莱布尼茨的版本。

微积分的完善

牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别是在使用无穷小概念上的随意与混乱。因此，微积分的大范围应用的同时，人们对微积分基础问题的疑问也越来越严重。这个疑问就是：无穷小量究竟是不是0？无穷小量的分析是否合理？当时对于这个问题牛顿也不能给出很好的解释，从而引发了第二次数学危机。

牛顿

这场危机历经一百多年，但并没有阻碍微积分的迅猛发展，相反在各位数学家的不懈努力下，使微积分的定义和基础不断的发展和完善。同时，第二次数学危机促进了分析的严格化、代数抽象化及非欧几何的诞生。

柯西

年，捷克数学家波尔查诺给出了连续性的合理定义；

年，法国数学家柯西在《代数分析教程》中给出了变量和函数的正确定义，他意识到函数不一定要有解析表达式。他给出了极限的合理定义，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并且定义了导数和积分；

年，威尔斯特拉斯消除了微积分中出现的错误与混乱，给出现在通用的极限的定义、连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上，他创立了微积分的　　ε-δ语言、　　ε-N语言，这种数学语言在现在数学分析和高等数学教材中一直沿用至今。

维尔斯特拉斯

自此，微积分走向系统化、严格化，并在此基础上建立了很多以微积分方法为主的数学分支，如常微分方程、偏微分方程、积分方程、变分法等。除此之外，微积分还衍生出了微分几何、分析力学、天体力学等学科。