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微积分是有史以来最具革命性的思想之一。它几乎被应用于数学和科学的所有分支。与抽象数学中的其他主题不同，它是数学的一个分支，被广泛应用于许多学科中，因此更容易理解这一思想。尽管如此，大多数人还是觉得它很神秘，很难理解。在课堂上介绍微积分通常需要相当多的先决条件，这就是为什么它变得有点难开始。在这篇文章中，我们将采取一种非常直观和有点非常规的方法来从头开始理解微积分。这篇文章是为那些总是想要学习这门学科却找不到动力和/或时间去拿一本教科书的读者准备的。一个基础很好的读者可能会发现内容不那么严谨和/或不完整，但这里的意图是使主题更“平易近人”，并最终激励读者拿起那本教科书。为什么要微积分呢？我们有理由问这样一个问题：我们试图解决的是什么样的问题促使我们产生了这个新想法？这个问题的答案相当简单——微积分一个非常精确的方法来量化变化。所以任何需要我们研究一定数量变化的问题都可以用微积分来解决。这听起来不是很令人印象深刻，因为我们已经成功地研究了各种系统中的各种变化很长一段时间了，即使当时还没有这样的方法。那么，微积分给我们带来了什么新东西呢？微积分的关键优势在于它的精确性。让我们看看这是什么意思。变化的研究假设有一辆汽车以每小时公里的固定速度行驶。很明显，它在一小时内从任何选定的出发点行驶了公里。如果我们问一个问题——当它从出发点移动了公里时，它移动的速度有多快？答案很简单，因为汽车是匀速行驶的，在公里的终点，它仍然以每小时公里的速度行驶。现在我们稍微改变一下情况。假设司机每隔一小时就把车加速5公里/小时。如果我们再问同样的问题，要想找到答案需要一点计算。让我们看看它是怎么做的从出发点算起，汽车的速度是每小时公里，所以第一个小时的路程是公里。第一个小时结束时，司机将车速提高了5公里/小时。所以汽车的新速度是+5=公里/小时，第二小时的路程是公里。因此，2小时结束时的总路程是+=公里。第二小时结束时，司机将车速提高了5公里/小时。所以汽车的新速度是+5=公里/小时，第三小时的路程是公里。因此，3小时结束时的总路程是++=公里。我们看到这辆车已经超过了公里大关，而穿越该关口时的速度为公里/小时。这里我们看到了一种类型的问题，它要求我们理解如何处理变化的量。显然，这个例子不像整个过程中速度恒定的例子那么简单，但我们仍然可以用简单的数学方法来解决这个问题，我们不需要任何新的或高级的东西。现在让我们稍微改变一下情况。假设司机每分钟而不是每小时加速5公里/小时。为了解决这个问题，现在我们必须在每分钟而不是每小时结束时记下所走的距离。我们可以想象，这个例子比前一个更乏味，因为它涉及到相当多的中间步骤。然而，用同样的方法我们还是可以做到的。让我们更进一步，看看如果司机每秒钟或每毫秒增加5公里/小时的速度会发生什么？现在需要大量的计算才能得到最终的答案。中间的步骤很简单，但是要计算的步骤太多了，这就成为了一个难题。我们可以想象，这不是一个假设的情况，因为我们知道，我们可以让汽车时刻提速。事实上，这种现象有一个名字——加速汽车。如果我们能找到一种一次性完成所有中间步骤的方法，那就太好了！实际上，要观察计算的模式并不难，仔细一看，也许能写出这种特殊情况的公式。唯一的问题是，我们需要一个新的公式来解决每一个新类型的问题。在汽车的行驶过程中，还有很多其他的事情可以改变。甚至可能有其他需要计算变化量的系统。我们所希望的是一个通用框架。微积分的起源前一节中讨论的事例足以理解新方法的必要性，但它可能不是介绍所涉及的数学细节的最佳示例。一旦我们对这个主题有了更多的了解，我们就会回到这个主题。为了建立一个系统的框架，我们从一个数学上更简单的问题开始。假设池塘里有一个小扰动，水波就产生了。从下图中可以看出，水波是圆形的，它们从扰动点向外运动。让我们

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