“微元法”思想是积分学中重要的思想方法，在实际生活中有非常广泛的应用。合理有效的利用微元法思想可以使原本复杂的问题变得简单易行,本节将主要讲述微元法的思想及其发展，带你走进数学家们的心路历程，领略智慧高点魅力。

1微元法思想的起源和发展

虽然微元法思想是积分学的重要思想，但微元法思想的起源则是依赖于微分学起源和发展。微元法思想萌芽、发生与发展经历了漫长的历史过程。

微元法思想的萌芽最早可追溯到公元前年左右，古希腊伟大的数学家、力学之父阿基米德在解决抛物线围成的面积、球形面积和双曲旋转体的体积等问题时就已经有了关于微分然后再积分的想法。

阿基米德

阿基米德之后，微积分思想没有实质性的突破和发展，直到17世纪上半叶近代微积分开始酝酿。微元法思想的发展始于社会和自然科学发展的驱动，如火松制造、矿山开发、行星运动规律和航海等需要力学和一系列有关数学的问题，迫切的需要运用数学工具去解决这些问题。

这些应用问题可概括为以下四类：

（1）确定非匀速运动物体的瞬时速度的问题；

（2）曲线的切线问题；

（3）求炮弹最大射程及行星近日点和远日点等设计的函数的最值问题；

（4）由行星轨道运动路程、行星矢径扫过的面积及物体重心与引力等引起的求不规则曲线弧长、不规则图形的面积、不规则物体的体积、以及物理学中的万有引力等问题。

以上问题激发了数学家们的研究兴趣，当时几乎所有的科学家都致力于寻求解决以上问题的数学工具。这里不再一一列举对微积分做出贡献的其他学者，但不得不提对微积分贡献最为突出的两位大神——牛顿和莱布尼茨。

◆牛顿的微积分

对于牛顿我们不用多说，几乎所有人都知道牛顿在物理和数学上的贡献：微积分、力学、光学等等，我们无法想象一个人能在这么多领域有如此重大的成就，所以称之为科学巨人一点也不为过。

牛顿

牛顿对微积分问题的研究始于年，他阅读了笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》后对其中的问题产生浓厚的兴趣。年8月，由于瘟疫流行剑桥大学关闭，牛顿不得不返回家乡躲避瘟疫。在此期间，牛顿在微积分上的研究取得了突破性的进展，年11月他发明了“正流数术”（微分法），年5月牛顿建立了“反流数术”（积分法），同年10月他把在微积分方面的研究成果总结成论文《流数简论》。牛顿的这篇文章标志着微积分的诞生，可惜牛顿并没有及时发表这篇文章，也因此引发了后续一系列的问题，即牛顿和莱布尼茨的微积分发明权之争，这场论战持续了一个多世纪。

牛顿对微积分的研究是从物理学的角度进行的，他为了解决力学中的运动问题，创造了“流数术”的理论。后来牛顿还创作了许多关于微积分著作如《运用无限多项方程的分析》(年)、《流数法与无穷级数》(年)、《曲线求积术》(年)，这些理论是力的数学反映，牛顿一切变量都看作是流量。

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牛顿手稿

牛顿的“流数术”大致上包含以下三个方面的内容：

已知的流量关系，求流数之间的关系，即积分学内容；已知流数的关系，求相应的流量之间的关系，即微分学内容；流数术的应用：函数极值问题、曲线的切线和曲率问题、曲边图形区面积。牛顿建立了积分与微分的互逆关系的理论，即微积分基本公式。

◆莱布尼茨的微积分

莱布尼茨原本在莱比锡大学学习法律，但大学期间他接触了伽利略、开普勒、笛卡尔、帕斯卡及牛顿的老师巴罗等人的数学思想，激发了他对数学的兴趣，并开始研究曲线的切线及求面积、体积等微积分问题。

莱布尼茨

与牛顿流数术的运动背景不同，莱布尼茨对微积分的研究是从几何方面进行的，他在研究不规则曲线的切线和不规则曲线所围的面积时开始了对微积分的研究。

年莱布尼茨被派往法国巴黎担任大使，在巴黎定居法国的四年（-）取得了微积分研究的重大成果。莱布尼茨借助笛卡尔的解析几何，把对数列的研究与微积分运算联系起来，把曲线的纵坐标y用数列表示出来，并考虑了两个相邻纵坐标之差的序列，他发现：求切线不过是求差，求积不过是求和。

我们现在使用的积分符号就是求和sum的首写字母S拉长后得到的。除此之外，还有很多数学符号都是莱布尼茨引入的，如微积分中的dx,dy等符号，这些符号简洁、方便，一直沿用至今。

年莱布尼茨在《ActaEruditorum》上发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和切线的新方法》，这篇论文是数学史上第一篇正式发表的微积分的文献。

这里需要说明的是：尽管牛顿与莱布尼茨各自从不同的方向创立了微积分但殊途同归，他们对微积分的创立和现代数学的发展做出了巨大的贡献，在优先权问题上我们不做过多评价和论述，我们认为他们的贡献是相同的；另外，他们对微积分的贡献都创立了微积分且较为完整，但在某些方面仍存在缺点和不足，如对于无穷小量的说明上并没有解释清楚，甚至说是混乱，这也使得起初的微积分理论被很多数学家质疑和批判，这也使得第二次数学危机的产生。

2、微元法的基本思想

说到定积分，我们首先想到的是曲边梯形的面积，所谓曲边梯形是指梯形的一条边不是直的而是弯曲的，如图所示：

由定积分的定义我们知道，解决定积分的应用问题常用分割、近似、求和、取极限来导出所求量的积分形式。

具体来讲，对于计算曲线y=f(x)在区间[a,b]上与x轴所围的面积S时，可在区间[a,b]上任取一点x，取宽度为x，当x很小时，可以认为在区间[x,x]上f(x)是一条直线，于是有这个小矩形的面积可表示为：

dS=f(x)x=f(x)dx

把dS=f(x)dx称作为面积微元。

微元法

只要把面积微元表示出来，把所以的小矩形面积dS全部累加求和即可得到图形的面积S值。这种累加是通过积分来实现的，即

那么，什么问题可以用定积分来求解呢？

所求量F是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的一个整体量；F对区间[a,b]具有可加性，即可以通过分割、线性化、合并、无限细化表示为

如何应用定积分解决问题呢？

首先，要在区间划分的基础上找出能够很大程度上取代局部部分量的线性近似值，即寻求微分表达式

其次，考虑f(x)选取的可靠性，确保能满足下列关系

通常情况下，以直代曲、以均匀代非均匀、以常代变，或近似的将[x,x+dx]看成一点的乘积运算就能满足此要求。

然后，求出整体量的精确值

这种取微元f(x)dx计算积分的方法称为微元法。

微元法的本质就是在处理变化的事物或变化的过程时，考虑到一切变化都必须在一定的时间和空间范围内才可能实现，微元法就抓住了“变化”的这一本质特征，通过限制变化赖以发生的时间和空间来限制变化，从而将变化的事物或变化的过程转化为不变的事物或不变的过程，以实现“化变为常”、“化曲为直”的作用。

在具体应用微元法时，我们需要两步来完成：

（1）求出局部量的近似值dF=f(x)dx；

（2）求出整体量的精确值

其中最重要的是局部量的近似表示，只要把局部量表示正确，只需在自变量x的取值范围（积分范围）内进行无限累加（积分）即可得整体量的精确值。

举例：

本节主要介绍了“微元法”的发展及基本思想，有关微元法的在几何、物理等方面的应用将在下节给出，敬请期待！