很长一段时间以来，笔者几乎遍读（欧）美版、俄版、日版、中版微积分教材，也曾看过不少相关类图书，试图了解微积分这门课程的精髓。

在我们的教科书里，都有很大篇幅讲数列与极限以及如何求导，至于它们之间的关系其实讲得并不彻底。如果我们不能明白它们之间的关系，就容易沦为做题“机器”，但并不能算真正掌握微积分。

一般来说，我们认为极限是微积分的基本思想，但以我的见解，极限前面如果加上数列两个字可能更具引导性。

我们知道，当一个函数式写成，就意味着规则已经制定完成，由于y随着x的变化而变化，所以y=f(x)实则只由x一个元素决定。因此，在y=f(x)中，y由x求得，变化率由导数求得。

为使方便理解，我们不妨以y=x^2这个函数为例简单说明一下数列极限与导数之间的关系。

那么，按照我们平时的习惯写法，函数的变化率由((x+h)^2-x^2)/h=2x+h求得。如果取x=5，h依次取0.1，0.01，0.，0.0......则对应的函数变化率就为10.1，10.01，10.，10.0......很明显，随着h的取值越来越小，函数的变化率将趋向于10.0值；也很明显，10.0就是函数变化率的数列极限。

更普遍地说，利用求导公式x^n=nx^(n-1)，仅就y=x^2而言，对于任意x的变化率极限都是2x，以表示当h=0时变化率2x+h的极限值。

以上这个例子虽然简单，但充分说明了数列极限与导数之间的关系。

更进一步，根据指数函数

=1+

/1！+

/2！+

/3！+......正弦函数

=

-

/3！+

/5！-

/7！+......余弦函数

=1-

/2！+

/4！-

/6！+......同样表达为数列形式。大家不妨细细推敲，这里面埋藏着两个重要极限

和

，乃是解决涉及指数函数与三角函数求导问题的关键，实际上数列极限与导数两者密不可分。

我认为，学微积分没有任何捷径可走，没有长期的浸淫难以掌握其中的精髓，但数列极限与导数之间的关系可以说是微积分的精妙所在，也许学微积分可以从这里开始。

编撰：然好

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