20世纪中叶，物理学从牛顿的经典力学走向了量子理论。
通常，科学发展的道路上理论先行，相对论和量子力学几乎不可避免地淘汰了经典力学。
然而，相对滞后的技术层面，还在尽享着经典力学的最后荣光。美苏对抗期间的军备竞赛，联动了两大阵营的太空竞赛。
数学家们利用二体问题可求解的理论指导，把二体对象设定为飞船和地球，成功把宇航员送进太空，绕地飞行而后安全返航着陆。
牛顿绘制了世界由数学主宰的图景，由此产生的深刻影响远远超出了科学领域。
人文领域的浪漫诗人们，一致认为牛顿破坏了彩虹的诗意，因为牛顿把彩虹还原为棱镜光谱。不过，他们依然兴高采烈地为科学的解密而喝彩。
哲学领域，伏尔泰、大卫·休谟、约翰·洛克和其他启蒙思想家，无不被牛顿的理性逻辑所引领。自此，早期哲学家们的先验形而上学方法，被扫进了历史。
连续与离散在大多数情况下，牛顿只是将微积分应用于一个或者两个对象，比如摆动的钟摆，飞行的炮弹，或者绕着太阳旋转的行星。
那是因为求解三个或者更多对象的微分方程，简直是一场噩梦，太阳、地球、月亮三者之间的引力相互作用，已经让牛顿头痛不已。
因此，牛顿曾断言，运用微积分体系来分析整个太阳系，几乎不可能。
但令人惊讶的是，随着考虑对象数量的增加，一直到无穷多个粒子，微分方程又变得容易求解了！只要这些粒子形成连续介质，而不是离散集。
以生活中的常见物品举例来说，一组粒子的离散集就好比散落在地上的弹珠，离散性体现在，触碰到其中一颗弹珠，并不能因为这一颗而联动到触碰另一颗。
也就是说，弹珠之间是有空隙的。
相比之下，连续介质，比如一根琴弦，拨动琴弦上的某个点，弦上的其他粒子不用直接去拨而会自然联动跟着振动。
正是通过解决连续介质如何移动和变化的谜题，微积分才在改变世界的道路上又迈出了一大步。当然，这一大步也须微积分自身随之改变，需要扩充微分方程本身和描述对象的概念。
常微分方程和偏微分方程当牛顿解释行星椭圆轨道时，当后续数学家计算宇宙飞船太空舱轨道时，他们求解的都是常微分方程，这类方程只取决于一个自变量。
常微分方程描述的是，某个因素的无穷小的变化，如何引起其他因素的无穷小变化，称为“常”微分方程，是因为只有一个自变量。
奇特的是，这类方程只要有且仅有一个自变量，因变量的数量无关紧要，它们统统都是常微分方程。
比如，想要确定一艘在三维空间中移动的宇宙飞船的位置，需要三个坐标数字：x、y和z，它们通过在左右、上下和前后方向上定位宇宙飞船，标示出它在某一时刻的位置，进而得知它离任意参考点有多远。
随着飞船的移动，它的x、y和z坐标每时每刻都在变化，因此它们都是时间的函数，通常记作：x(t)、y(t)和z(t).
常微分方程完全适用于包含一个或者更多对象的离散系统，它们可以描述一艘宇宙飞船重返大气层的运动，一个钟摆来回摆动的运动，或者一颗行星绕太阳旋转的运动。
其关键在于，必须把每个对象都理想化为一个点，一个没有空间范围的无穷小坍缩点。简化之后，就可以认为这样的一个点存在于坐标为x、y、z的点上。
同样的方法也适用于同时有许多点状对象的情况，比如，一大群微型宇宙飞船，一串由弹簧连接起来的钟摆，一个由八颗行星和无数小行星组成的太阳系，都可以用微分方程来描述。
在牛顿之后的几个世纪里，数学家和物理学家开发出很多求救常微分方程的巧妙方法，以便对所描述的现实世界系统的未来做出预测。
而这些系统都不是离散的，或至少不都适合被视为离散的系统。也就是说，并非所有系统都可以用常微分方程来描述。
以一碗汤的冷却过程为例，从微观层面看，一碗汤是一堆离散的分子，它们都在杂乱无章地四处游荡跳跃。
但我们不可能看见，也不可能测量它们作为粒子的运动，因此，不会有人考虑用常微分方程为一碗汤来建模进而解析其冷却过程。
一种更实际的、可操作的描述方法，便是把汤看作连续体。尽管不符合真实情况，但却很有效。
在连续体近似方法中，假设汤存在于碗的三维体积内的每一点。某个给定点（x，y，z）的温度T取决于时间t，这个信息可以用函数T(x，y，z，t）来表达。
这里涉及四个自变量：x，y，z，t，已经不再是常微分方程的范畴，是一种新的微分方程——偏微分方程，每个自变量在引发变化的过程中，都发挥着各自的作用。
偏微分方程比常微分方程丰富得多，它们描述了连续系统的运动同时随空间和时间发生的变化，或者连续系统在两个或者更多个维度的空间中运动的变化情况。
上述的汤冷却过程，吊床下垂的形状，污染物在湖泊中的扩散，战斗机机翼上方的气流变化，等等，都可以用偏微分方程来描述。
偏微分方程极其难解，在它们面前，已经挺难解的常微分方程几乎成了小儿科。
同时，偏微分方程又极其重要，每当我们飞上天空的时候，我们的生死都取决于它们。
偏微分方程和波音客机现代飞机翱翔在天空中，是微积分创造的一个奇迹。
飞机的雏形阶段，第一批飞行器是通过模仿鸟类和风筝，凭借工程学知识和坚持不懈的试错发明出来的。
随着航空器越来越先进，越是需要更精湛的手段来设计。
二战后，航空工程师将计算机添加到设计中，曾经用于密码破译、炮位计算、天气预报的真空管，被航空工程师用来辅助建造现代喷气式飞机。
其中涉及的数学计算，必然会出现复杂的偏微分方程。
一部分原因是飞机的几何结构十分复杂，包含机翼、机身、发动机、尾翼、襟翼和起落装置，每个部分都能使高速掠过飞机的气流发生偏转。
高速气流一旦偏转，就会对使它偏转的对象施加一个力，若飞机的机翼形状适当，高速气流就会把它抬升起来。
飞机在跑道上以足够快的速度滑行，向上的力就会把飞机抬离地面并使其保持在空中。
升力是一种垂直于气流运动方向的力，而飞机前行的阻力则是平行于气流方向的。
阻力类似于摩擦力，它会阻碍飞机运动并使其减速。
计算飞机升力和阻力的大小属于极其困难的微积分问题，然而，又必须解决。
以波音客机为例，相较于客机，的机身和机翼使用比金属更轻的碳纤维增强聚合物，使得燃油效率提高了20%，噪声水平降低了60%。
然而，客机最具创新的地方体现在其设计中凝聚的数学与计算，偏微分方程在整个过程中发挥了诸多方面的作用。
比如，除了计算升力和阻力，波音公司的应用数学家们，还用微积分预测了飞机以英里的时速飞行时机翼会如何弯曲。
工程师试图避免一种被称为气动弹性颤振的危险效应，这种不受欢迎的振动，轻则会造成旅途的颠簸和不适，重则会形成一个正反馈回路，使飞机颤振加剧，损坏飞机机翼，进而导致结构失效和坠毁，有隐形战斗机发生过这种事故。
波音公司的数学家将机翼分解为几十万个微型立方体、棱柱体和四面体，给这些基本构建单元的刚度和弹性赋值，然后这些构建单元会受到邻近构建单元施加的推力和拉力。
弹性理论的偏微分方程，可以预测出每个构建单元会对这些力做出怎样的反应，最终在超级计算机的帮助下，所有这些反应被组合起来，用于预测机翼的总体振动情况。
另一方面，偏微分方程也可以用于优化飞机发动机内的燃烧过程，这是一个尤为复杂的建模问题，因为涉及化学、热流、流体运动三个不同学科的相互作用。
波音公司的研发团队依然采用了阿基米德方法，把大问题切割成若干小问题，解决所有小问题，然后再拼接起来。
实践版的无穷原则，有了超级计算机和有限元分析的数值方法的帮助，实实在在地解决了现实中的问题。
无处不在的偏微分方程微积分在现代科学中的应用，主要体现在偏微分方程的建立、求解和解释上。
著名的麦克斯韦方程，是偏微分方程，关于弹性、声学、热流、流体和气体动力学的定律，也是偏微分方程。
即使在现代物理学的前沿，偏微分方程依然为其提供了数学基础架构。
以爱因斯坦的广义相对论为例，它将引力重新设想为四维时空弯曲的表现。
经典的隐喻把时空想象成一个有弹性、可形变的结构，通常情况下是紧绷的，但如果放上去某个重物，它就会在重力作用下发生弯曲。
同理，太阳等大质量天体也会使其周围时空结构发生弯曲，而行星则在弯曲表面滚动。其实它们并未感受到力，只是在弯曲时空中沿阻力最小的路径自然运动。
尽管这个理论难以理解，但它的数学核心就是偏微分方程。
微观世界的理论——量子力学——同样如此，它的控制方程——薛定谔方程，也是一个偏微分方程。
微分方程无处不在。
