一元函数积分学分为不定积分和定积分2个部分，其中，不定积分的学习是为了定积分的学习打好基础，而定积分的学习主要又是要面向实际的应用，课本中定积分的应用主要讲的是求平面图形的面积和旋转体的体积，本文主要介绍定积分的应用之求平面图形的面积。

一、求平面图形的面积

1.平面图像面积的求解方法：

第一步：根据所给的函数f(x)，画出草图；

第二步：确定积分的变化范围，即确定积分上下限；

第三步：计算定积分。

2.分类：X型和Y型

在平面直角坐标系下，根据不同的情形，平面图形的面积计算公式可分为2种，X型和Y型。

第一类：X型计算公式

X型，即由y=f(x)与y=g(x)上下两条曲线在

[a,b]区间上（或者说和x=a，x=b）所围成的平面图形的面积。

在x轴上的a，b之间任意取一点x，过点x坐x轴的垂线，过垂线与上曲线的交点（x,f(x)），与下曲线的交点（x,g(x)）作y轴的平行线，截得dx宽的小矩形，设小矩形的面积为dA，则dA=[f(x)-g(x)]dx，则整个图形的面积为A=

。

注意：当y=g(x)=0时，即下曲线变成了x轴，则所求的图形面积A变成了A=

，此时即为定积分的几何意义：曲边梯形的面积。

第二类：Y型计算公式

Y型，即由x=f(y)，x=g(y)左右两条曲线在

[c,d]区间上（或者说和y=c，y=d）所围成的图形面积，类似于X型，若在区间

[c,d]上，f(y)

g(y)，则Y型的公式为：面积A=

。

注意：当求解的面积既不是X型，也不是Y型时，则需要将图形划分为若干个X型或者Y型进行计算求解。

对于平面图形面积的X型和y型的计算公式，可结合下图中所给的相关例题进行练习，帮助理解记忆，例题如下：

在实际的解题过程中，我们只需要使用X型或者Y型任意的一种公式解出结果即可，答案都是正确的。练习时可以尝试两个公式都用一下，帮助理解还可以验证答案正确性，实际做题时灵活选择即可。