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万国博览会展露头角，不能做加减乘除计算的仪器，却能测出面积
首度世界博览会开幕，不见差分机，却有面积仪？
年，英国伦敦海德公园出现一栋由钢制框架与玻璃盖成的巨大建筑。这栋长五百多米、高度近四十米的“水晶宫”(TheCrystalPalace)，是为了万国工业博览会而兴建。这是史上首度举办的万国博览会，世界各国在此展出 技术与发明。
英国发起这场盛大的活动，目的在于展现工业革命之后的各项成果，以证明大不列颠的领导地位。各国不甘示弱，也都使出浑身解数，不只比谁有 发明，更要争谁的设计更佳。因此除了有首度亮相的冲水马桶、传真机等全新的发明，也有望远镜、银版摄影这种原本就有的事物。
年于伦敦举行的 届万国博览会巴贝奇原本殷切期待在此次万国博览会展出差分机模组，让世人见识他的发明，却因为与内阁关系交恶，未能如愿，还被排除在筹备委员会之外。即使巴贝奇真的成功打造出差分机，恐怕也会不符投资效益而卖不出去，就和其它山寨差分机一样，很快就无疾而终。
当时一起展览的还有一种科学仪器叫面积仪(Planimeter)，是一种用途单纯、相当成功的计算器。说是计算器，但其实面积仪并不能做数字的加减乘除，它的运算取决于机械动作的连续变化，因此在类别上归属于类比式计算机。面积仪后来又衍生出各种不同用途的类比式计算机，现代数字式电脑出现之前，许多艰巨的计算工作都是靠它们完成的。
土地面积太难算，发明面积仪来解决
类比式与数字式的差别在于数值的连续性。类比式所处理的数值之间是连续不间断的，数字式所处理的则是一个个孤立的数字。例如从0到9之间的任何实数都包含在内，算是类比；而如果只有0到9这十个整数，则算是数字。若以几何来表示，类比就是0到9这一条线段，而数字就只有0、1、2、……、9这十个点。
四则运算之类的计算器当然是数字式；但计算尺则算是类比式，因为游标左右滑动，可以指到任何一个数字。传统机械表的指针是以连续不间断的方式转动，所以是类比式；不过同样用指针的石英表则是数字式，因为秒针是一格一格地跳跃前进。巴贝奇的差分机与分析机虽然可以计算连续函数，却是利用代表0到9十个数字的齿轮来运算，因此属于数字计算机；而面积仪则是用完全不同的方式计算连续函数。
面积仪最早是巴伐利亚(Bavaria，现德国的一邦)一位公务员赫尔曼(JohannMartinHermann)于年发明。他负责地理资料，为了计算每块土地的面积而大伤脑筋。
土地形状若是像课本上那种简单几何图形，当然只需加减乘除，顶多加上三角函数就能算出面积。但实际上，土地边界常常有不规则曲线，得用微积分才能算出面积大小，这就不是一件简单的事，要有相当的数学程度才能胜任。而当有成千上万笔的土地需要计算，得耗费掉多少时间？又去哪儿找那么多数学家？
你可能会觉得这听起来有点熟悉，没错，当年法国数学家普罗尼也是因为测量土地需要数值表，而面临同样的难题。普罗尼想出的解决之道，是利用差分法分拆计算过程，让不懂数学的美发师也能帮忙计算。赫尔曼则是直接思考如何用机器解决，才发明出面积仪。
不用计算数字，机械积分就能滚出积分结果
只要将面积仪置放在地图上，握着上面的铁针沿着土地轮廓描过一遍，就能自动算出面积大小（原理参见文末附注）。由于它是利用滚轮与圆锥体接触面的变化，算出积分的结果，过程中的变化起伏与呈现出的数值都是连续的，因此是不折不扣的类比计算机。这也是 部不必计算数值，光靠机械运动就能得出积分结果的机器。
面积仪使用方式赫尔曼首创“机械积分”，为计算机开创出另一条不同的道路。不过他可能原本就是发明给自己内部使用，所以并未大肆宣扬，直到年出版的一本德国期刊介绍他的发明，世人才知道赫尔曼是最早的发明者，而这段期间已经有许多人也陆续发明出面积仪。年的万国工业博览会所展出的面积仪，便多达六款，分别来自意大利、瑞士、法国、英国等国。这些面积仪的构造略有不同，或增添滚轮、或用转盘取代圆锥体，但原理都不脱赫尔曼的原始设计。
不过真正让面积仪商业化并获得广泛採用的，是瑞士数学家兼物理学家阿姆斯勒(JakobAmsler)于年所改良的机型。原来的面积仪是基于直角坐标系，将X轴与Y轴的位置变化转换为数值；阿姆斯勒改用极坐标，测量的是角度与距离的变化。如此一来，阿姆斯勒便能把面积仪设计得更小巧，成本更低，而且使用起来更方便，计算结果也更准确，因此大受欢迎。三年后，阿姆斯勒干脆自己设厂生产极坐标面积仪，在他年过世之前，一共卖出多达五万台。
阿姆斯勒设计的极坐标面积仪机械积分真好用，各式类比计算机由此衍生
面积仪既然可以用利用机械积分算出积分值，类似的原理应该也可以画出对应的积分函数。年，波兰数学家阿巴卡诺维兹(BrunoAbakanowicz)发明积分仪(Integraph)。将积分仪的描图臂沿着某一函数的曲线移动，另一根绘图臂就会同时画出这个函数的积分图形，例如将描图臂沿着y=x这条直线移动，绘图臂就会画出y=1/2x2的曲线，相当于一台输出函数积分图解的计算机。
除了积分仪，面积仪还衍生出许多不同用途的类比式计算机，其中契机正是源于年的万国博览会，而关键角色竟是被誉为牛顿之后第二人的麦克斯韦(JamesClerkMaxwell)。麦克斯韦当时仍在剑桥大学就读，他也跑去参观万国博览会。面积仪的巧妙设计让他印象深刻，回去后继续思考其中原理， 还发表论文，提出改善建议，竟因此开启了类比式计算机一连串的发展。
面积仪的运作原理：
面积仪有支活动的悬臂，末端插着细细尖尖的铁针。内部有个圆锥体，会随着悬臂前后移动而顺时针或逆时针转；以及一个与圆锥体表面接触的滚轮，滚轮会随着悬臂左右移动而上上下下。
当铁针沿着土地边界移动，便会带动悬臂前后左右移动，使得滚轮随着圆锥体转动。铁针的位置若以直角坐标(x,y)表示，y越大，滚轮越靠近圆锥体底部，因此转越多圈。x增加时，滚轮顺时针转，会累加转动的圈数，反之则逆时针转，倒扣转动圈数。滚轮联结到有如时钟的圆盘，上面的指针会跟着同步转动，所指的数字便是累计的圈数，也就是土地的面积。
