刘徽用割圆术计算圆的周长，计算的正多边形边数越来越多，正多边形的周长就会越来越接近一个固定的数值，这个数值应该是直径乘以圆周率。如果把正多边形边数变化时，算出来的周长当成一个数列的话，这个固定的数值，就是这个数列的极限。

也就是这个数列的极限是圆的周长。

那数列有无数项，每项都有变化，为什么极限是个固定值?

就是数列可以无限接近这个值，数列的项和这个固定极限值的差值可以任意小。如果换另一个数，差值就不会是任意小。所以这个极限是个确定的数。有可能是无理数，不能用分数精确表示大小，但是可以和任何有理数比较出大小来。

函数的极限，就是函数自变量无限靠近一个点时，函数值会无限靠近一个值。比如函数y=x，这个函数，趋于0点的极限，就是0，趋于1点的极限就是1。这个容易看出。y=sinx/x当x趋于0时，极限值是1。这个不容易看出了，需要用夹逼原理计算。

现在教材上采用的极限定义，是法国数学家柯西写入教材的。具体说明了什么是无限接近。

比如甲说y=x在x趋于1时，极限是1。

乙说我不相信

甲说，x趋于1时函数值可以和1无限靠近。差值可以无限小。

乙说，那什么时候函数值和1的差值小于1亿分之1，

甲说，只要x大于1减去2亿分之1，小于1加上2亿分之1，函数值和1的差值就会小于你所说的数。

乙再举更小的数，

甲照样能找到对应的x靠近1的范围。使函数值符合条件。

通过这个过程，可以使思维中的细节更清楚。

这样解释极限，对有疑问的人来说，比无限靠近，逼近的说法更加明确。

上边这个y=x，既可以从x=1的左侧，小于1的一侧靠近，也可以通过右侧来靠近，也就是大于1的一侧来靠近。分别计算一个函数的极限值，所以函数极限，又可分为左极限和右极限。对于这个函数，对每一点来说左极限等于右极限，因为一个特定函数的对应规则，可以人为规定。所以有的函数，左极限和右极限并不一定总是相等。

连续这个概念和人们的直觉高度一致。把函数的图像画出来，如果在一点是连着的，那就是连续的。牛顿计算宏观物体的运动，所有考虑的物体的运动轨迹都是连续的，物体不可能凭空跳过一段距离。微积分发展后，研究函数连续不连续，一个原因是不连续的函数，虽然在不连续点不能求导数，但是有可能可以积分。不连续函数，也可以展开成傅里叶级数。是傅里叶级数这个方法的发展，激发了人们对函数连续这个性质的思考。

好多问题，通过直觉就可以判断，比如平面几何中，凸多边形内角和可以用n-2乘以度计算。。n是多边形的边数，一般课本上并没有详细说什么是凸多边形，但是画出一个凹多边形，一般人都会感觉和凸多边形不一样，套公式之前要思考一下。还有凸多面体边数顶点数，面数会符合欧拉公式，但是凹多面体，就不符合。凸凹多面体，大多数人一眼就可以判断和分类。

一个函数如果是不连续的，人们也可以通过直觉马上感知到和连续函数的差别。

那如何详细描述什么是连续，如何判断一个函数在一点连续不连续呢？就是如果一个函数在一点的函数值等于这点的左极限和右极限，那函数在这点就是连续的。

人有许多直觉，其中连续是数学上比较好描述的，有许多感觉非常重要，但是数学上描述就非常复杂。比如人可以靠声音判断声音源的远近，如果要造一个机器人有类似功能，那设计算法就复杂了。

好多数学和计算机算法方面的课题，就是把人人具有的直觉用数学语言描述出来，再用程序实现出来。

考研大纲中，还有第一类间断点和第二类间断点的分类。因为间断点是不是第一类的，是函数是不是确定可以展开成傅里叶级数的一个条件。等到学傅里叶级数，就会感觉给间断点分类这种内容，其实也不是那么空洞。