在判断一个反常积分是否收敛的时候往往有很多方法，但是有一种以不变应万变的方法，那就是极限的方法，使用这种极限的等价形式可以快速判断敛散性

01一般情况反常积分

什么是一般情况的反常积分?在求极限的过程中，都能等价为x的变量的形式，，那么怎么化为极限的形式呢?我们知道反常积分也是定积分的一种，只要是定积分就有上限和下限确定的区间，在这个区间中，看被积函数中是否有间断点，当然无论如何都包括∞的情况，我们同各国一道例

首先第一步找被积函数中的间断点，发现在积分区间中没有被积函数的间断点，而被积函数中有无穷，所以无穷是一个反常点

第二步分别将被积函数求极限，x趋于刚刚找到的间断点，再按照下面的条件进行比对,x趋于常数时候，P小于1收敛，当x趋于无穷的时候P大于1收敛

例如上面的那个题，在积分区间并没有间断点，只有一个无穷，那么如下计算

根据上面的步骤可以发现间断点为x=1和∞，分别进行取极限

当x趋于无穷时是收敛，当x趋于1时是发散，只有全部收敛才收敛，一个发散就是发散，在计算的时候常数项是无法影响收敛性的，比如整体乘以常数2或者是-1,最后练习一般形式的反常积分

可以看出0和二分之pi常数是被积函数的间断点，所以分别求极限

02lnx函数情况

带有lnx函数的时候又与一般情况不同，因为不仔细研究就感觉就像玄学一样，其实通过总结我们发现就三种情况，而且可以快速判断

值得注意的是上面图片的第一个是2到正无穷，不包括1，当包含1时使用等价无穷小

最后一种情况请接着往下看

根据上面的三种情况举个例子，如下图所示

判断上述的敛散性，可以看出是第三种情况P=1,a2收敛

你会发现这三种情况中当有正无穷的时都不包含1这个点，那么如果区间有1应该怎么判断呢?有两种可能，一种是1在积分区间中本身就不是间断点，可以忽略；当1是间断点的时候，使用等价无穷小进行处理，例如下面的题目

首先仅仅1是间断点，而且是lnx，我们知道ln(1+x)等价于x，那么下面就用这个等价进行判别

03伽马函数

其实伽马函数也是反常积分的一种，然而我们知道，伽马函数是有公式计算的，并且直接可以算出结果，所以是收敛的

例如下面的伽马函数，可以根据公式直接得出结果

值得注意的是，伽马函数的区间是0到正无穷，并且e的指数上是积分变量的相反数，对于伽马函数也有快速理解计算法，如下所示

具体按照下面的规律你就会瞬间明白，请看下面的图

04绝对收敛

什么是绝对收敛，就是加绝对值后收敛，那么原函数必收敛就叫绝对收敛，如果加绝对值不收敛，而原函数收敛，就叫条件收敛。绝对值收敛一般是被积函数中带有三角函数的积分形式，如下面的函数

本篇文章总结了反常积分判别的方法，使用极限进行计算判断敛散性，不要忘记lnx的几种特殊的情况以及绝对收敛的情况，感谢大家的阅读