文艺复兴期间或之后不久，17世纪数学领域诞生了三个伟大的发明：对数、解析几何和微积分。

01近代数学中的革命性发明——对数

对数的概念萌芽于德国数学家施蒂费尔(Stifel)，他在自己年的著作《整数算术》中详细探讨了几何级数1，r,r^2,r^3……中的各项与其指数之间的关系，例如我们今天所熟知的两数相乘所得之数的指数为原两数指数之和，更进一步，他还将这种运算规律推广到了指数为负数和分数的情形。如今这样的规律初中学生都已熟知，但在施蒂费尔的时代，这样的问题仍是模糊的，甚至在当时并没有“指数”这样的概念。但可惜的是，限于时代的陈旧观念，施蒂费尔并没有提出类似于对数的概念，遗憾地错失了这次数学大发现和名垂千古的机会。

发明，或者说发现对数的重要功劳当属苏格兰数学家纳皮尔。或者也译作耐普尔。内皮尔是英国人，年出生于苏格兰爱丁堡附近的默奇斯顿城堡。他出身高贵，父亲阿契伯德·内皮尔爵士是默奇斯顿城堡的第七代领主，内皮尔自己后来成了第八代领主。内皮尔13岁时入圣安德鲁斯大学，先后娶了两个妻子，给他生了12个孩子，不过对于拥有庞大地产的内皮尔爵士来说养活这么一大家子并不困难。早在第一次婚姻后不久，他就开始了数学的研究与发现，并且萌发了对数的观念，年出版了《神妙的对数规则之描述》，向世人公布了他的伟大发明。

所以，对数诞生之后，就赢得了科学家们尤其是天文学家们的赞美甚至崇拜，它实在太有用了，就像伟大的天文学家兼数学家拉普拉斯所言，对数的发明“以其节省劳力而使天文学家的寿命延长了一倍”。

事实上，它不但使天文学家们的寿命增加了一倍，还使得任何需要进行大量计算工作的人们的寿命都增加了一倍。因为，对于那些需要大量乘除法计算的人，他们每天的工作时间完全可能有一半花在不需要天才，然而必不可少的繁复计算之上，而在天文学里这样的计算最多，这就是为什么天文学家们特别赞美对数的原因。

在年，当时的数学家和天文学家布里格斯(HenryBriggs,~)向纳皮尔提出了一项建设性的意见，用今天的话来说，就是把一个数的对数定义为以10为底情况下这个数的指数，这样就使得对数的计算简单了许多。自此之后，大量的数学家利用各种各样的方法，计算并制作了许多数据庞大而详尽的对数表，例如年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底的包含1~及~的14位常用对数表。

而在没有计算器的时代，这样的对数表对数学家，天文学家和航海家等来说，无疑就如“救世主”一般。关于对数的重要性，最著名的评价无疑是伽利略的名言：给我空间，时间和对数，我就可以创造整个宇宙！著名的拉普拉斯也说过：对数的发明极大的延长了天文学家们的生命。

而对数表退出历史舞台，让位于先进的计算机，也只不过是近几十年的事而已。

02数学的伟大转折,哲学家发明了解析几何

解析几何是十七世纪四十年代由法国数学家费马和笛卡尔所创立的。费马(Fermat，—)是十七世纪伟大的数学家之一。

年费马写成《平面和立体轨迹引论》，在这篇文章中他把希腊数学中使用立体图而苦心研究发现的曲线的特征，通过引进坐标译成了代数语言，从而使各种不同的曲线有了代数方程一般的表示方法．费马还具体地研究了直线、圆和其它圆锥曲线的方程。通过坐标的平移和旋转化简方程。

费马注意到了坐标可以平移或旋转。他曾给出一些较复杂的二次方程，然后通过平移或旋转将它们化为简单的形式。年，费马在一封信中，曾简短地描述了三维解析几何的思想。

笛卡尔首先是伟大的哲学家，就像黑格尔在其名著《哲学史讲演录》中所言：“勒内·笛卡尔事实上是近代哲学的创始人。”关于他的人生我们在前面的哲学卷中已经讲述了，这里不再赘述。

笛卡尔对数学的主要贡献是创立了解析几何。解析几何最大的特色是引入了坐标。我们知道，坐标有横轴与纵轴，分别称为X轴与Y轴，通过它们可以表示各种平面几何图形，图形中每一个点在坐标轴上都可以找到相应的数值与之对应。

由此可见，解析几何的主要特点是将几何学中的基本元素点与代数学中的基本元素数结合起来。不但几何图形可以通过坐标来表示，方程也可以通过坐标来表示，例如方程y=3+x，每一个x取值与相应的y值都是在坐标上的一个点，这些点就构成了一条直线。不但直线可以，曲线与曲面同样可以找到对应自己的方程。就像下面的例子一样：

以上就是一个坐标，包括X轴和Y轴，即横轴和纵轴，它也是方程y2=2px（P＞0）的坐标图。

年，笛卡尔以“LevrePremier”的笔名出版了三部论文，分别是《屈光学》、《论流星》、《几何学》。

《几何学》共分三卷，第一卷讨论如何用直尺和圆规作图，第二卷中讨论了用“不确定的代数方程”表示并研究几何曲线，这也就是他的解析几何思想，第三卷谈立体与“超立体”的作图问题。

笛卡尔在其著作《方法论》的三篇附录之一“几何学”中提出了解析几何的基本方法。这种方法对几何学来说是革命性的。首先，使用代数技巧来解决几何问题，这意味着数与形统一起来了，代数方法与几何方法第一次真正结合了。

笛卡尔认为以前的数学是一种分裂的数学，甚至古希腊的数学也束缚了人们的想象力。因此，他决心要建立起一种“普遍的数学”，在这里，算术、代数、几何都是统一的。他熟悉地理学，知道很早以前人们就已经知道了经纬度的问题。通过经纬度，大地上的每个点都可以用一对数字（x，y）来表示。

那么，在纸上任何一个数字当然也能够用之表示。他又想到在方程中也是两个数：一个自变量对应一个因变量，即一个x对应于一个y，这不也像地图上一样构成了一对数字（x，y）吗？不是同样能在一个平面上将之表示出来吗？他进一步想到，所有的x值及对应的y值所代表的点（x，y）是不是能够形成某一种图形呢？他更进一步地想到，平面上的每个点，甚至平面上的某种图形，例如直线与曲线，应该同样可以用方程来表示。凭直觉，笛卡尔相信这是可以的。于是他便将这思想在《几何学》中表达了出来。

在他的《几何学》第二卷里，笛卡尔说明曲线可以用方程来表示后，作出了这样一个图：

我们可以看到，上面有一条虚线，笛卡尔经过一番证明之后，得出结论说，上面那段曲线可以用方程

来表示，这样就在曲线与方程之间建立了直接的联系。这就是解析几何的基本特质。

解析几何把代数和几何结合起来，把数学造成一个双面的工具。一方面，几何概念可以用代数表示，几何的目的通过代数来达到。反过来，另一方面，给代数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念的意义。

又可以得到启发去提出新的结论（例如，笛卡尔就提出了用抛物线和圆的交点来求三次和四次方程的实根的著名方法），拉格朗日(Lagrange)曾把这些优点写进他的《数学概要》中：“只要代数和几何分道扬镳，他们的进展就缓慢，他们的应用就狭窄。但当这两门科学结成伴侣时，他们就互相吸取新鲜的活力，就以快速走向完善。”的确，十七世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于解析几何，可以说微分学和积分学如果没有解析几何的预先发展是难以想象的。

03微积分的发明，变量数学的巨人之争

年，英国突然爆发鼠疫，于是就读于剑桥大学的牛顿，就回到了母亲的农场，专心致力于科学研究，后来经典物理学三大定律，光学定律以及微积分皆是从此开始，因此这一年也被“奇迹年”。

年，牛顿率先发现了微积分概念——流数术，但是牛顿并未将发现成果公布出来，只是记在自己的笔记本中，科学圈内，也只有牛顿的几个好友知道此事。

而另一边，莱布尼茨也在年发现了微积分概念，并于年，率先将微分概念公诸于世，2年后，又将积分概念公布出来。于是微积分这个数学概念，就在欧洲大陆流传开来。

而随着微积分的名气越来越来，双方的摩擦也越来越多。年，有人率先跳出来指责莱布尼茨，认为他的微积分思想，其实是来自于牛顿的研究成果，莱布尼茨这是赤裸裸的剽窃。

之后，又有皇家学会的成员站了出来，指责莱布尼茨，只是替换掉了牛顿研究成果的几个符号而已，微积分真正的发明者应该是牛顿。随后英国科学界与欧洲大陆科学界，为此爆发了激烈的争论。

看着大家这样吵来吵去，当时的皇家学会就坐不住了，开始出来主持公道，宣布彻查此事。经过了一年的调查，英国皇家学会，终于在年得出了初步结论，皇家学会最终认为，牛顿是微积分的发现者，而莱布尼茨则只是抄袭者而已。

但实际上，这是一份偏向性十分强的报告，因为这份调查报告的总结，就是皇家学会主席——牛顿本人所写。除此之外，牛顿还在私下里发长文指责莱布尼茨的抄袭行为。

其实牛顿和莱布尼茨，都不是一个人在战斗，这场微积分发明之争，实际上是英国科学界，和欧陆科学界的一场正面交锋，在之后的一百年中，两方的科学家，老死不相往来，直到年代，双方的关系才有所缓和。而那个富有争议的微积分，也被折中地命名为“牛顿——莱布尼茨”定理。

在此后一百多年间，关于“谁发明微积分”的真相变得扑朔迷离。现在，经过历史考证，莱布尼茨和牛顿的方法和途径均不一样，对微积分学的贡献也各有所长。牛顿注重于与运动学的结合，发展完善了“变量”的概念，为微积分在各门学科的应用开辟道路。莱布尼茨从几何出发，发明了一套简明方便使用至今的微积分符号体系。因此，如今学术界将微积分的发明权判定为他们两人共同享有。

对于两位大家，笔者也是一脸懵逼。一个发现比较早、一个总结比较完善，但是无论哪一个，两位前辈都是为人类数学的发展做出了巨大的贡献！

正是由于代数学方法的使用，加上莱布尼茨本人对数学形式有着超人的直觉（这种直觉对他的哲学研究也大有裨益，而牛顿的后半生尽管沉湎于神学研究，却一事无成），使得我们今天熟知的微积分学教程基本上采用了他的表述方式和符号体系。

微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。城市的繁荣，交通工具的不断进步，航空航天领域的飞速发展给人类社会带来了日新月异地变化，而这一切都离不开微积分的诞生。