这是一整套公式，老黄已经探究了其中的大部分。它是基于余弦和正弦的幂积不定积分递推公式的。

前面老黄推到余弦负整数幂与正弦正整数幂的不定积分公式，也就是正割正弦正整数幂积的不定积分公式。最近是关于两个指数相差一个奇数时的公式，在《老黄学高数》系列学习视频中，用了第讲和第讲两讲的内容来进行分析。

这回老黄要推导的是余弦正整数幂与正弦负整数幂的不定积分公式，也就是余弦余割的正整数幂积的不定积分公式。两个指数相差一个偶数的情况，已经和正割正弦正整数幂积的不定积分公式一起推导出来了。在《老黄学高数》第讲中有详细的介绍。所以接下来只要推导两个指数相差一个奇数的情况就可以了。一般地，用m表示余弦的指数，用n表示余割的指数，就是当

n-m

=2a+1时的公式。

如果像推导正割正弦幂积的公式一样再推一遍，就有点重复工作，虽然过程略有不同，但大同小异。因此老黄决定直接利用sin(x+π/2)=cosx和sec(x+π/2)=-cscx这两个公式，把余弦余割的幂积转化成正割正弦的幂积来解决。原本以为，这样会比较简便，没想到却更加烧脑。能想明白的，那脑子都是天才级别的。老黄能推出结果，但没办法想明白。假如有机会当面告诉你的话，可以给你讲明白。但写文章，必须结合你自己的理解。高等数学就是这么神奇。能推导出来，也能讲明白的东西，偏偏就想不明白，你说好玩不好玩！只有天才才能想明白。

第一件烧脑的事情是，原本习惯用m表示余弦(或正割)的指数，用n表示余割(或正弦)的指数，但换元之后，却会变成用n表示正割的指数，用m表示正弦的指数。为了保持习惯，不得会先用n表示正割的指数，用m表示正弦的指数，然后才能确保最后用m表示余弦的指数，用n表示余割的指数，所以公式中所有m,n都要对调一下。是不是很绕啊？

第二件烧脑的事情是m,n的奇偶性是不同的，因此在运用正弦余弦和正割余割关系转化时，涉及到符号的问题时，很容易给搞错了。

第三件烧脑的事情是系数虽然原本就是确定的。但通过探究的深入，会发现，原本的某些系数确定得并非百分之百合理，通过新一轮的探究，老黄发现，最好把公式中所有的双阶层写成绝对值的双阶层，这样可以使公式的普遍性更好。

这些烧脑的事情说起来轻巧，真正实际操作，就会乱如麻，很容易出错。而一旦出错，想要纠正所花的时间，真不是你想象得出来的。老黄做的是学习作品，并不能由着它去错，必须尽可能保证百分之百正确，以免“误人子弟”。所以这些作品是花了老黄老多心血的哦。不过尽管这样，仍免不了会出一些差错，希望大家带着自己的判断来阅读。毕竟能看这些内容的，多数都是人家的成年子弟了。

下面先看正割指数较大的正割正弦正整数幂积不定积分公式：

这个公式转化成余弦余割的幂积公式时，就会变成余割的指数n较大的情况。就是这么烧脑。先看m=2k时的推导过程：

最后还会有一个n-m=1的特殊情形。

来一道例题强化一下：例1：求∫(cosx)^4*(cscx)^7dx.

再看m=2k+1的推导过程：

同样最后会有一个n-m=1的特殊情况。公式是不同的，所以称之为特殊情况，如果只是化简了公式，就不称为特殊情况。

接下来的例题就看看这种特殊情况下的结论：例2：求∫(cosx)^5*(cscx)^6dx.

本文中所有例题的结果，老黄都已经检验过了。大家也可以自己检验一下。有些检验起来同样特别烧脑。对这方面的计算能力的提升还是大有裨益的。

接下来看正弦的指数较大时的正割正弦正整数幂积公式：