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译者按WilliamThurston（昵称Bill）是年数学界最高奖菲尔兹奖得主，年去世。他的数学研究就像进行魔术表演，总是突然就从帽子里抽出绝妙的创意，无数次让世界范围内的数学家们惊叹不已。-年间，Thurston的研究工作在拓扑学领域引起了一场翻天覆地的革命，对数学界的影响一直持续到现在。DennisSullivan是年数学界另一个大奖沃尔夫奖得主，在代数拓扑和复动力系统两个领域为数学界作出深刻的贡献。Thurston和Sullivan的研究有着很大的交集。当Sullivan得知Thurston去世的消息后，他迅速写下了这十个记录他们之间来往的故事。撰文｜DennisSullivan翻译｜杜晓明故事一年12月，在伯克利召开的一个动力系统研讨班结束的时候，貌似解决了一个能很好地应用于动力系统的平面上的棘手问题。解决方案宣称：能把N个两两位置不同的点逐步移动到另外的N个点，使得在移动过程中不发生自交，并且每一步都整体只移动非常小的距离。坐在前排的资深动力系统专家们都乐观地相信这个结果，因为根据之前的经验，在三维以及更高维数的动力系统的应用中，由于这些点能摆成一般位置，这个结论显然是对的，如今该定理在二维的情形也应该成立。一个坐在教室最后排的长头发、大胡子的研究生站了起来，说证明中的算法是不成立的。他就是BillThurston。他怯怯地走到黑板前面，画了两幅图，每幅图都有7个点。然后开始按照刚才的算法来操作。一开始出现的连线尽管很短很少，但毕竟挡住了另外一部分线的延伸方向。想把另外一部分线继续延长又同时避免出现交叉的话，必须从别的地方绕回来，于是各条线开始变得越来越长。在这个复杂的图示例子里，刚才的算法无效！我从未见过其他人有如此强的理解力，也从来没见过有人能如此之快就创造性地构造出反例。这让我从此对几何上可能出现的复杂性产生敬畏。各个时期（上世纪70年代、80年代、90年代）的Thurston。故事二几天之后，伯克利的研究生们邀请我（那时我也同样是大胡子、长头发）在分隔办公区与电梯区的走廊墙壁上画一些与数学有关的壁画。就在准备画的时候，故事一里面提到的那位研究生跑来问我：“你觉得画这个东西有意思吗？”他给我看的是平面上围着三个点绕来绕去的一些复杂的一维对象。我问：“这是什么？”他的答案让我很惊讶：“它是一条简单闭曲线。”我说：“这一定很有趣！”于是我们就开始花几个小时一起在墙上画这条曲线。这真是一次非常棒的学习如何粘贴的体验。为了让这条曲线看起来较美观，首先得画一些较短的、彼此平行的、有些弯曲的短线（正如叶状结构局部方形邻域内的图案一样），然后再把它们光滑地接起来。我问他是如何想到这样的曲线的，他说：“从一条给定的简单闭曲线出发，不停地沿着中间的相交曲线作成对的Dehntwist。”这幅2米高、4米宽、画着曲线的壁画（见年《美国数学会通讯》第50卷第3期的封面）署有作者和日期：“DPSandBT,December,”，它在伯克利的墙上保留了40多年，直到几年前才被擦去。过去在伯克利EvansHall里由Thurston和Sullivan一起画的壁画。这个围着三个点绕来绕去的复杂图像实际上是一条简单闭曲线。

摄影：KenRibet故事三上面两个故事在伯克利发生的那个星期，其实我只是从麻省理工学院访问伯克利，讲一系列关于微分形式和流形同伦论的课。那时候叶状结构与微分形式到处出现，并且成为研究的热潮，我想利用在我的研究中出现的1-形式来描述基本群的中心下降序列，进而构造叶状结构。这些叶状结构的叶子覆盖了从流形到它的幂零流形的映射图像。幂零流形就是从基本群的高阶幂零子群出发构造的流形。这其实是把利用同调来构造的到高维环面的Abel映射推广成幂零的情形。由于缺少Lie群的知识，我曾向麻省理工学院和哈佛大学的微分几何学家们请教这个推广的可能性，但我自己还是没弄明白。这些都太模糊、太代数化了。来到伯克利之后，我在第一次课上就提出这方面的问题，并私下里与Bill进行讨论。开始我并没有抱什么希望，因为这是奇怪的代数与几何的混合体。然而第二天，Bill就想到了彻底的解决方法，并且给出了完整的解释。对于他来说，这些只是很初等的东西，涉及的几何知识也不多，仅仅是ElieCartan的dd=0的对偶形式中的Jacobi关系。就在以上两个故事发生期间，我向我的老朋友MoeHirsch提起了BillThurston。Thurston是Moe的博士生，那时候正处于博士阶段的第五年。我记得是Moe还是谁说过，Bill开始念博士时进展很缓慢，甚至在口试时出了点小问题。当时Bill被要求举一个万有覆盖的例子，他选择了画亏格为2的曲面的万有覆盖，在黑板上画出一些笨拙的八边形，八个八边形共用一个顶点。亏格2曲面的万有覆盖。这种论证很快就在黑板上越来越呈现为没有说服力的混乱。我想Bill是第一个在考场上想出如此非平凡的万有覆盖的人。Moe说，不久之后，Bill便开始以每个月一个的速度解决博士论文级别的大问题。许多年之后，我听说就在那段时间里，Bill刚好有了他的第一个孩子Nathaniel。孩子在晚上不睡觉，所以Bill也没法睡觉。在念研究生的时候，有一整年的时间，他晚上都只能与Nathaniel在地板上来回地走。在伯克利度过的那一周改变了我的人生。我很感激命运让我有幸欣赏到所谓的“莫扎特现象”，并且认识了一位新的朋友。我刚从伯克利回到麻省理工学院，就马上把这一切告诉我在麻省的同事们。但我想我的热情过于强烈了，以致没法让别人全部理解：“我遇到了自己所见过的、甚至从没期望会遇到的最好的一位研究生。”我安排Bill先去普林斯顿高等研究院（IAS），然后来麻省理工学院做一场报告，并计划把他招到麻省理工学院。但最后的结果是，Bill在-年来麻省理工学院访问了一年，但那一年我正好去访问法国高等科学研究院（IHES），并且在法国一待就是20年。而Bill则被邀请回到普林斯顿大学任职。故事四普林斯顿高等研究院，-在-这段时间，我从麻省理工学院访问普林斯顿，于是与Bill接触的机会更多了。一天，我们从普林斯顿高等研究院出来准备去吃午饭。我问Bill，什么是极限圆（horocycle）。他说：“你们待在这儿别动。”然后他开始向学院的草地走去。走了一段距离，他停住并转过身来，说：“你们在以我为圆心的圆周上。”然后他转身走得更远，再次转过身来说了一些东西。由于距离远，他说什么我已经听不清楚了。他每走到一个新的地方就再喊一次，我们终于知道他说的是同样的意思：“你们在以我为圆心的圆周上。”接下来他走得更远了。由于距离太远，他喊什么我都听不见了。等他转过身来使劲喊大概同样意思的时候，我忽然知道了什么是极限圆。极限圆Atiyah问我们其中某些拓扑学家：平坦向量丛是否存在分类空间？他曾对这样的丛构造出一些新的示性类。由Brown定理，我们知道这东西存在，但是还不知道如何具体地构造出来。第二天，Atiyah说，当他问Thurston这个问题的时候，Thurston给出了一个神奇的构造：把作为向量丛结构群的李群看成一个抽象群，赋予离散拓扑，然后就给出分类空间。后来，我听说Thurston通过画图证明给JackMilnor看：任意单峰映射的动力系统模式都会出现在取适当值c时对应的二次函数x→x^2+c的迭代中。我因为正在学习动力系统，所以就计划花一个学期的时间在普林斯顿，向Bill学习这篇从刚才提到的画图而发展出来的关于Milnor-Thurston万有性的著名论文。故事五普林斯顿大学，年秋年9月，我准备去普林斯顿大学学习一维动力系统，而Thurston则已经发展出曲面映射的新理论。我刚到的时候，他在高等研究院做了三个小时精彩的即兴演讲来解释这个理论。我非常幸运：因为有之前在伯克利的墙上画那条曲线的艰苦劳动，由此启发，Thurston关于叶状结构的极限的主要定理直观上对我来说非常清晰。在我待的那个学期即将结束的时候，Thurston告诉我，他相信这些东西对应的映射环面具有双曲度量。我问他为什么，他说不知道如何向我解释，因为我没有充分理解微分几何。在我离开普林斯顿之后的几个星期里，Bill没有我的干扰，有更多时间从事研究。对于特定的Haken流形，他完成了双曲度量存在性的证明。而对于映射环面的情形，他后来又花了两年多的时间。其中的细节本文后面会说。在Bill讲授的一门一学期课程里，研究生和我都学到了很多关键的思想：“双曲几何在无穷远处变成共形几何”的类比。让人印象深刻的是，Bill处理的方式是在双曲空间内部而不是在无穷远边界处，他

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