天行动计划读书笔记/热点追踪/论文研读/教程手册前几篇文章讨论了有关数学模型的发展，主要从宏观层面叙述了人们利用数学解决的问题的整个发展过程。本节则聚焦到计算科学这个点，简述其的特点及在水质模型中的应用。计算科学这个教程最后还是要回到水质模型上来，前面这些铺垫都是为了后续更好的理解水质模型。水质模型本质为数学模型，然而水质模型是怎样和计算科学扯上关系的呢？为了说清楚这个关系，我们先来看看什么是计算科学。计算科学（ComputingScience），又称科学计算，是通过计算机作为核心工具，分析和解决科学问题，与数据模型构建、定量分析方法密切相关的研究领域。从计算机的角度来说，是应用高性能计算能力预测和了解客观世界物质运动或复杂现象演化规律的科学。在实际应用中，计算科学主要用于对各个科学学科中的问题进行计算机模拟和其他形式的计算。包括数值模拟、工程仿真、高效计算机系统和应用软件等。目前，计算科学已经成为科学技术发展和重大工程设计中具有战略意义的研究手段，它与传统的理论研究和实验研究一起，成为促进重大科学发现和科技发展的战略支撑技术。计算科学涉及的典型的问题域包括：数值模拟，重建和理解已知事件（如地震、海啸和其他自然灾害），或预测未来或未被观测到的情况（如天气、亚原子粒子的行为）；模型拟合与数据分析，调整模型或利用观察来解方程（如石油勘探地球物理学、计算语言学，基于图的网络模型，复杂网络等）；计算和数学优化，最优化已知方案（如工艺和制造过程、运筹学等）。上面的定义可以看出，计算科学应用已经非常广泛，在前面介绍科学范式的时候，开始的最主要的两种范式(实验研究和理论研究)基本上占主导地位。现在的大部分科学研究也基本或多或少与这两种手段有千丝万缕的联系，基本上读研的小伙伴都有所体会。计算的研究手段在之前的科学研究中并不是主要的研究方法，其仅仅为一种辅助手段而已。但从20世纪50年代，冯·诺依曼、图灵等人提出了现代电子计算机架构后，计算科学（包括计算理论、算法、硬件和软件）有了快速的发展，随着计算机在摩尔定律驱动下，成本逐渐降低，利用计算机对科学实验进行模拟仿真的模式得到迅速普及，其逐渐由辅助实验，变为主要的模拟手段。由于计算机仿真的灵活性较大，科学家对复杂现象通过模拟仿真，通过参数的修改、情景假设等，推演出越来越多复杂的现象，典型案例如模拟核试验、天气预报等。随着计算机仿真越来越多地取代物理实验（并不仅仅是物理实验，化学生物领域也在大量的使用计算机仿真），计算科学逐渐成为科研的常规方法，它能够直接并有效地为科学服务。解析模型和数值模型计算科学的概念有所了解了，但是其概念范围过于庞大，我们来举些例子近距离体会一下。我们还要从牛顿这个大牛说起，正如前几节描述人类认识世界的方式及工具，在十八世纪之前，主要通过实践经验和试验认识世界，如托勒密等人构建的诸多天文模型等。在十八世纪后，牛顿等科学家开创了机械思维的核心，发明了微积分与自然科学原理，从而人类有了第二种手段—理论研究，这种工具就是采用数学方程、公式来描述大自然的各种规律，更具体为力学中牛顿第二定律，还有采用微积分构建的各种常微分和偏微分方程组。高中时代我们学习了很多简洁的方程，让我们体会到了数学之美，但实际上很多方程是在各种假设下设定的，如果脱离假设后，很多方程是难以求解的，换句话说只有微分方程而没有微分方程的解。那么，这时候就如同镜中月，好看但是不能用的，我们离洞悉自然界的规律还差点距离。因此十八世界到二十世纪之间，有大量的科学家，包括力学家，物理学家和数学家，投入大量甚至以毕生的精力去试图求解这些方程，对微分方程的进行深入研究。成果不能说没有，但是非常遗憾的是大部分方程只有理想条件下，进行大量的假设和简化后，才能得到部分的解，感觉好气人，但是就是没有办法。这些解由于是在理想条件下获取的，所以只能得到有限的，定性的结论，大概是这么回事吧，我们知道定性的分析，虽有效果，但是其信息量还是不足，难以解决真正的问题。这时候冯·诺依曼、图灵等人开创了计算机的架构，计算机横空出世，再加上差分方法的提出，后续学者的有限元方法和有限体积法紧随其后，为数值求解微分方程，准确认识自然规律创造了客观条件。在此基础上，计算逐渐成为人们认识自然的第三种手段：计算机仿真与数值模拟。虽然计算机的出现使得计算成为可能，且其没有较多的限制，但是计算机作为新生事物，初步的发展还受性能限制，使得其还只是局部的应用，如导弹轨道计算等。数值模拟在科学研究中地位还排不上号，仅仅作为辅助试验和理论研究的手段而已。但是，摩尔定律出现后，计算机有了迅猛的发展，相应计算数学与应用数学也在突飞猛进，在计算机算力大幅度提高，能够精确求解较多复杂的微分方程问题，第三范式出现，数值模拟成为认识自然规律的主要手段。本来以水质模型为例的，但是时间及水平有限，也恰好看到一篇关于天气预报的专业文章，正好可以用来解释下。天气预报刚开始是从理论开始切入的。首先要预报天气系统的演变，很自然就会想到：从原则上说，预报问题就可归结为加入一定边界条件和初始条件的斜压流体力学方程的求解问题，即求解数学物理方程。如果能实现它，则天气预报就是客观的和定量的，可以不以经验为主而上升到科学理论。理论分析之后需要求解方程时遇到了难题：在上世纪初，这样的斜压流体力学方程组大体上已可列出来，但是很复杂。这是因为大气有可压缩性，内能与动能相互转换，密度、压力和温度三者包含于气体状态方程中，还有水汽相变、辐射能传输等各种复杂物理过程。它们构成了一组复杂的而且是非线性的偏微分方程式组。且不论其中的不少物理过程还有待探讨，单就求解非线性偏微分方程组这个数学问题来说，当时还没有公式化的求解方法，气象学(也是物理学)大师V.Bjeckness只好说：让上帝去积分(求解)它吧。有限差分方法的应用来尝试求解：毕竟现实世界中众多的数理方程大多是非线性的，必须应用它解决实际问题，但没有现成的求解方法。于是数学家回到了微积分的本源，用有限差分来近似微分，用求和来近似积分，把求解微分方程变成算术运算过程，创造出“数值求解”法。学识渊博、多才多艺的Richardson敏锐而大胆地尝试用它来求解斜压流体力学方程。他的书(年出版)冠名为WeatherPredictionbyNumericalProcess，由此催生了后来的术语“数值天气预报”(numericalweatherforecast)一词，尽管科学的天气预报应该由求解相应的数理方程而作出，这是问题的物理本质，数值求解只是一个方法问题。采用计算机进行求解：直至年世界第一台由电子管组成的电子计算机ENIAC出世后，Charney，Fjrtoft和电子计算机之父VonNeumann合作，于年用它对非线性正压涡度方程积分，才得到世界上第一个由计算机做出的24小时天气预报图。因为强调用计算方法和电子计算机，“数值天气预报”(numericalweatherforecast)一词才被正式确定，其名称掩盖了天气预报的流体力学方法，尽管后者是更为反映本质的。但是数值计算还有很多需要解决的问题：大气作为连续介质的流体，其动力学方程的每一项都是就每一个数学上的点而写出的，并且还做了一定的近似。这就产生了许多问题，例如单从这些偏微分方程出发，大气的整体是不是满足质量守恒、能量守恒和角动量守恒等定律？内能与动能和位能是怎样相互转换的？热机的效率如何？所引入的近似，如薄层近似(大气的有效厚度与地球半径相比非常小，在大气中各点离地心的距离可近似视为等于地球半径——如它以系数的形式出现在方程中的话)，表观重力近似(重力加惯性离心力取为常数，且垂直于球面)和准静力平衡近似(忽略了惯性力中的垂直分量)等，是否在整体上破坏了物理原则，或只改变了能量、角动量等的表达式？引入的近似是不是相容的或自洽的？大气有底界而无上界(在数学上讲是在无穷远处)，边界条件应怎样提才是正确的和符合物理原则的？初始条件该怎样提法？等等。作为预报问题应怎样提才是物理上合理的且数学上也是严谨的和适定的？即是否有解，解是否唯一，和对初边值条件是否连续依赖？这些都是基础问题。我们不能满足于数值预报的一时胜利，而应就上述这些问题进行理性的检验，对离散化了的计算格式更应如此，这样才能把数值预报建立在坚实的严格数学物理基础之上，才能健康地发展。其实，在以往的某些个别的具体数值预报模式中，不乏有在整体上破坏物理原则的和不自洽的，甚至无解的或多解的。理论科学、实验科学和计算科学是推动人类文明进步和科技发展的重要途径。最后，值得一提的是，人们现在已经接受了计算科学，但是对数据科学的发展趋势还有不同的看法，但是大数据作为科学发现的新重要手段已被广泛认同，相信会有越来越多的科研人员积极涉足计算科学和数据科学的领域。不仅是物理学家、化学家和生物学家，而且整个科学、工程和技术领域内的专家都是如此。历史总是如此重复上演。相关阅读：天气预报——由经验到物理数学理论和超级计算（一）WM0-2.1

数学模型的发展历程(3)WM0-2.1

数学模型的发展历程(2)WM0-2.1

数学模型的发展历程（1）本文参考资料：[1]第四范式：基于大数据的科学研究，赵斌科学网博客。链接

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