一个看似简单的问题：0.……是否等于1？数学危机因此诞生

上小学五年级的儿子突然问起一个问题：爸爸，0.…等于1吗？

学过极限、级数的我回答道：当然相等啦。

儿子满脸疑惑地说：那不是还差0.…1吗？

我只能简单地说：不能用“有限”观点看待“无限”的问题。这么一个抽象、笼统的答案，小学生是无法理解的。

“那么，0.…+0.…=1这也对啦？”

这倒是给了我一个启发：1÷3=0.…=1/3，2÷3=0.…=2/3，0.……=0.…+0.…=1/3+2/3=1。

儿子的回答却是：“这么看好像对，可0.…=1还是觉得不对。”

就在我觉得解答还算成功时，问题又来了。

“你看比较大小时，是先比首位，0.…的首位是0比1小，所以还是0.…小于1。”

我瞬间陷入沉思，该怎么给他解释清楚这个问题呢？

第二次数学危机

0.……=1，是数学中一个典型问题。它一度悬而未决，并导致了第二次数学危机。

17世纪末，牛顿和德国数学家莱布尼兹首先创造了微积分，形成了微积分学。由于当时没有具体严密的理论，只有方法，所以很多漏洞频频出现。英国哲学家贝克莱将矛盾直接指向了无穷小问题。牛顿等人不能自圆其说，在当时引起了激烈的影响，被称为是“第二次数学危机”。

第二次数学危机的实质，是“极限”的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说微积分理论缺乏逻辑基础。

牛顿虽然提出和使用了极限这个词，但是并没有在严格意义下，说清楚这个词的意思。德国数学家莱布尼茨虽然也同时发明微积分，但是也没有明确给出极限的定义。正因为如此，此后一百多年间的数学家都无法满意解释贝克莱提出的悖论。

由无穷小量引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的逻辑基础。

随着时间的推移、微积分研究范围的扩大，微积分中类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候做出了很多错误的证明，从而得到了很多错误的结论。比如对于1+（-1）+1+（-1）…的和，数学家也争论不休。

进入19世纪时，为微积分奠定一个严格的理论基础已成为亟待解决的问题。这需要建立严格的极限理论和实数理论。

严格的极限理论的建立经历了一个逐步的、漫长的过程。在18世纪，人们建立了极限理论，但那只是一个粗糙的理论。达朗贝尔在年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人没能提供这样的理论。

19世纪初，捷克数学家波尔查诺开设将严格的论证引入数学分析。他写的《无穷的悖论》一书中，包括很多真知灼见。

法国数学家柯西在年-年间出版的《分析教程》、《无穷小计算讲义》，是数学史上划时代的著作。

他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，建立起以极限为基础的现代微积分体系。

怎么给孩子解释？

其实这个问题，用高等数学中的极限、级数观点都可以解释，但上五年级的孩子肯定是听不懂的，有没有好的解释方法呢？

我们知道，有理数集包括有限小数和无限循环小数，而分数是有理数的另一种表现形式。即分数都能化成有限小数或无限循环小数；反过来，任何一个有限小数也能化成分数，当然任何一个无限循环小数，也一定会转化成一个分数。

把0.3……化成分数。

解：0.…×10=3.33…，

0.…x10-0.…=3.…-0.…=3，

(10-1)×0.…=3，

9×0.…=3，

0.3……=3/9=1/3.

由此可见，纯循环小数化成分数，它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数，分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

当然，0.9=9/9=1.

大家觉得这样的解释怎么样，孩子能听懂吗？